En cálculo de predicados tenemos elementos más simples para formar las expresiones atómicas, a diferencia de una proposición simple donde su valor es verdadero o falso de acuerdo a una interpretación, en cálculo de predicados el valor de verdad depende de los componentes que forman el predicado. Por ejemplo: Juan es padre de Pedro es una expresión en cálculo de predicados, que en general podría ser: x es padre de y, o simplemente p(x,y).
En otras palabras tenemos aquí una proposición abierta que depende de dos variables, y que por supuesto el valor de verdad depende de los valores que le demos a las varibles, porque por ejemplo: Luis es padre de Agustín puede tener un valor de verdad diferente al anterior.
En general podemos decir que un predicado puede tener una o más variables y que las variables pueden tomar valores de un conjunto específico llamado DOMINIO.
Así por ejemplo las dos expresiones mencionadas anteriormente son de la forma p(x,y) donde el predicado p representa “es padre de” y el domino es el conjunto de las personas.
Analiza cuáles son los predicados y las variables en los siguientes ejemplos:
El libro es azul
Armando y Eduardo son hermanos
Jesús es alumno del tecnológico
El concierto de Aranjuez es una composición de Joaquín Rodrigo
Elías tiene más años que René en el trabajo
Esteban compra mercancía los lunes en Almacenes A.
Solución:
AZ(x), AZ es el predicado: es de color azul, en el dominio de objetos.
H(x,y), H es el predicado: es hermano de, el dominio el conjunto de las personas.
T(x), T es el predicado: es alumno del Tecnológico, el dominio el conjunto de los estudiantes.
R(x), r es el predicado: es composición de Joaquín Rodrigo, el dominio de las obras musicales.
T(x,y), T es el predicado: tiene menos tiempo trabajando que, el dominio de las personas
A(x,y), A es el predicado: comprar en los almacenes cierto día, el dominio para el primer argumento es el de las personas, el dominio del segundo son los días de la semana.
Podemos observar que la definición del predicado es arbitraria y que para un mismo ejemplo podría variar la estrustura, por ejemplo en el predicado: El libro es azul, podríamos considerar como fórmula propuesta M(x,y), donde M es el predicado: es de color, y el dominio para la primera variable es el conjunto de los objetos y para la segunda el de los colores.
También observamos que el dominio puede ajustarse según las necesidades, por ejemplo, en el tercer ejemplo en T(x), x podría ser el conjunto de todos los alumnos de un país,o de una ciudad o de una disciplina.
lunes, 28 de septiembre de 2009
Calculo de predicados
Bicondicional
La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Jerarquia de Operadores.
Combinando los operadores anteriores podemos formar nuevas expresiones.
En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambiguedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas
Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).
En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquia sobre ^, v, →, ↔. Así ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q).
En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que p ^ q v r sería (p ^ q) v r.
Así por ejemplo, en electrónica, para representar circuitos lógicos se utiliza + en lugar de v y · en lugar de ^.
Por lo que p·q+r es ((p ^ q) v r).
En estos apuntes no se considerará jerarquía en ninguno de los operadores binarios ^, v, →, ↔ por lo que utilizaremos paréntesis. Sólo ¬ tiene prioridad sobre los demás operadores. Esto nos ahorrá algunos paréntesis, por ejemplo: ((( ¬ p) ^ q) v r) se representa por ( ¬ p ^ q) v r.
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Jerarquia de Operadores.
Combinando los operadores anteriores podemos formar nuevas expresiones.
En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambiguedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas
Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).
En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquia sobre ^, v, →, ↔. Así ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q).
En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que p ^ q v r sería (p ^ q) v r.
Así por ejemplo, en electrónica, para representar circuitos lógicos se utiliza + en lugar de v y · en lugar de ^.
Por lo que p·q+r es ((p ^ q) v r).
En estos apuntes no se considerará jerarquía en ninguno de los operadores binarios ^, v, →, ↔ por lo que utilizaremos paréntesis. Sólo ¬ tiene prioridad sobre los demás operadores. Esto nos ahorrá algunos paréntesis, por ejemplo: ((( ¬ p) ^ q) v r) se representa por ( ¬ p ^ q) v r.
Condicional
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.
Por ejemplo, si p es llueve y q es hay nubes entonces:
p → q es si llueve entonces hay nubes.
También cabe señalar que este viene a ser el operador más importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador.
Dada su importancia se le dedica una sección completa al final de la primera parte, sección
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.
Por ejemplo, si p es llueve y q es hay nubes entonces:
p → q es si llueve entonces hay nubes.
También cabe señalar que este viene a ser el operador más importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador.
Dada su importancia se le dedica una sección completa al final de la primera parte, sección
Disyuncion
La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdaera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Así por ejemplo la expresión: el libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.
Aquí debemos tener cuidado, porque en español muchas veces utilizamos la disyunción para representar otros operadores que aparentemente son lo mismo, pero que tienen diferente significado.
En español tenemos tres casos de disyunción:
La llamada y/o bancaria, lógica o matemática, que es la misma y se utliza en computación como el operador OR, este operador corresponde al mencionado anteriormente p v q y ya se mostró su tabla de verdad.
La o excluyente, que algunos también le llaman o exclusiva, y que indica que una de las dos proposiciones se cumple, pero no las dos. Este caso corresponde por ejemplo a: Hoy compraré un libro o iré al cine; se sobrentiende que una de las dos debe ser verdadera, pero no la dos. Se representa por p XOR q y su tabla de verdad es:
p q p XOR q
V V F
V F V
F V V
F F F
Por último, también es muy común utilizar una disyunción como la siguiente: El menú incluye café o té. En este caso se esta dando una disyuntiva diferente pues no se pueden las dos simultáneamente como en el caso anterior, pero aquí si es válido el caso donde las dos son falsas. Es el caso “no ámbas”, se puede representar por p § q y su tablas es
p q p § q
V V F
V F V
F V V
F F V
Nota: El último símbolo no es estándar y puede haber varias formas de representarlo.
Un buen ejercicio consiste en enunciar varias expresiones del español que utilizando los conectivos y o para analizar cuál de los operadores es.
Hay que tener mucho cuidado cuando se traduce del lenguaje usual por las costumbres, muchas veces depende del contexto o de la situación específica en la que se usan los conectivos, por ejemplo si decimos: Se pueden estacionar alumnos y maestros, en realidad se está queriendo decir un operador disyuntivo, en este caso la o matemática, o sea el primer operador que corresponde a la primera tabla de esta sección.
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdaera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Así por ejemplo la expresión: el libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.
Aquí debemos tener cuidado, porque en español muchas veces utilizamos la disyunción para representar otros operadores que aparentemente son lo mismo, pero que tienen diferente significado.
En español tenemos tres casos de disyunción:
La llamada y/o bancaria, lógica o matemática, que es la misma y se utliza en computación como el operador OR, este operador corresponde al mencionado anteriormente p v q y ya se mostró su tabla de verdad.
La o excluyente, que algunos también le llaman o exclusiva, y que indica que una de las dos proposiciones se cumple, pero no las dos. Este caso corresponde por ejemplo a: Hoy compraré un libro o iré al cine; se sobrentiende que una de las dos debe ser verdadera, pero no la dos. Se representa por p XOR q y su tabla de verdad es:
p q p XOR q
V V F
V F V
F V V
F F F
Por último, también es muy común utilizar una disyunción como la siguiente: El menú incluye café o té. En este caso se esta dando una disyuntiva diferente pues no se pueden las dos simultáneamente como en el caso anterior, pero aquí si es válido el caso donde las dos son falsas. Es el caso “no ámbas”, se puede representar por p § q y su tablas es
p q p § q
V V F
V F V
F V V
F F V
Nota: El último símbolo no es estándar y puede haber varias formas de representarlo.
Un buen ejercicio consiste en enunciar varias expresiones del español que utilizando los conectivos y o para analizar cuál de los operadores es.
Hay que tener mucho cuidado cuando se traduce del lenguaje usual por las costumbres, muchas veces depende del contexto o de la situación específica en la que se usan los conectivos, por ejemplo si decimos: Se pueden estacionar alumnos y maestros, en realidad se está queriendo decir un operador disyuntivo, en este caso la o matemática, o sea el primer operador que corresponde a la primera tabla de esta sección.
Conexiones logicas y jerarquias
Conjucion
La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos
p ^ q, donde
p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos Así también: p ^ q, donde
p: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2
se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.
Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos
p ^ q, donde
p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos Así también: p ^ q, donde
p: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2
se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.
Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
consepto de argumento y tipos de oposiciones lògicas
Los argumentos son una de las formas más comunes en matemáticas, en lógica y en computación de establecer razonamientos para llegar a la verdad.
Podemos tener también situaciones como:
Todos los hombres son mortales.Sócrates es hombre.Por lo tanto: Sócrates es mortal.
Si lo comparamos con:
Todos lo árboles son verdes.Todos lo pericos son verdes.Por lo tanto: Todos los árboles son pericos.
La pregunta importante es, ¿cómo saber si un razonamiento es válido? En general, la lógica proporciona los métodos para saber si un argumento es correcto y poder obtener conclusiones.
Un argumento es un conjunto de premisas, condiciones dadas, junto con una conclusión. Y decimos que un argumento es válido si la conclusión es verdadera siempre que las premisas lo son.
Uno de los principales propósitos de la lógica es por lo tanto encontrar la forma de poder saber si un argumento es válido o no. A esto le llamamos inferencia y está en la sección 1.7 Reglas de Inferencia.
Antes de poder decidir un argumento es válido o no, debemos de empezar por estudiar sus componentes, los elementos más simples que componen un argumento se llaman elementos atómicos.
Empezaremos por decir que en lógica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (F), y en computación a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas.
Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lógicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones indeterminadas.
Proposición lógica. Expresiones que pueden ser verdaderos o falsos pero no ambas.
Proposición abierta. Una expresión que contiene una o más variables y al sustituir las variables por valores específicos se obtiene una proposición lógica.
Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de las dos definiciones anteriores.
Expresiones Booleanas. Proposiciones lógicas y proposiciones abiertas.
Ejemplo
i) México está en América Proposición Lógica
ii) 1 < 2 Proposición Lógica
iii) Hoy es lunes Proposición Abierta
iv) x+3=5 Proposición Abierta
v) Ecosistemas Frase
vi) Buenos días Frase
vii) El 3 de abril de 1970 fue domingo Proposición Lógica
viii) Los cocodrilos pueden volar Proposición Lógica
ix) Las matemáticas son agradables Proposición Abierta
x) Esta expresión es falsa Frase
Podemos tener también situaciones como:
Todos los hombres son mortales.Sócrates es hombre.Por lo tanto: Sócrates es mortal.
Si lo comparamos con:
Todos lo árboles son verdes.Todos lo pericos son verdes.Por lo tanto: Todos los árboles son pericos.
La pregunta importante es, ¿cómo saber si un razonamiento es válido? En general, la lógica proporciona los métodos para saber si un argumento es correcto y poder obtener conclusiones.
Un argumento es un conjunto de premisas, condiciones dadas, junto con una conclusión. Y decimos que un argumento es válido si la conclusión es verdadera siempre que las premisas lo son.
Uno de los principales propósitos de la lógica es por lo tanto encontrar la forma de poder saber si un argumento es válido o no. A esto le llamamos inferencia y está en la sección 1.7 Reglas de Inferencia.
Antes de poder decidir un argumento es válido o no, debemos de empezar por estudiar sus componentes, los elementos más simples que componen un argumento se llaman elementos atómicos.
Empezaremos por decir que en lógica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (F), y en computación a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas.
Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lógicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones indeterminadas.
Proposición lógica. Expresiones que pueden ser verdaderos o falsos pero no ambas.
Proposición abierta. Una expresión que contiene una o más variables y al sustituir las variables por valores específicos se obtiene una proposición lógica.
Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de las dos definiciones anteriores.
Expresiones Booleanas. Proposiciones lógicas y proposiciones abiertas.
Ejemplo
i) México está en América Proposición Lógica
ii) 1 < 2 Proposición Lógica
iii) Hoy es lunes Proposición Abierta
iv) x+3=5 Proposición Abierta
v) Ecosistemas Frase
vi) Buenos días Frase
vii) El 3 de abril de 1970 fue domingo Proposición Lógica
viii) Los cocodrilos pueden volar Proposición Lógica
ix) Las matemáticas son agradables Proposición Abierta
x) Esta expresión es falsa Frase
lunes, 21 de septiembre de 2009
LOGICA-MATEMATICA
la longica-matematicas
La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
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