Cuantificadores Y Restricciones

Dos casos centrales en el cálculo de predicados se presentan cuando se analiza si el predicado se cumple para la población completa y cuando se analiza para ver si cumple para un caso en particular al menos. Estos dos casos se llaman Universal y Particular o Existencial vienen a ser la interpretación o la semántica de los símbolos de cuantificadores que se vieron en la sección 1.4 Calculo de Predicados Definicion y se definen de la siguiente forma:
Cuantificador Universal. El cuantificador universal para todo asociado a una expresión de cálculo de predicados F se representa por la espresión (∀ x) F y es verdadera cuando todas las instancias de la fórmula son verdaderas al sustituir la variable x en la fórmula por cada uno de los valores posibles del dominio.
Así por ejemplo si tenemos que la fórmula es T(x) donde T representa “es alumno del ITT” y x representa un alumno de Tijuana, la fórmula (∀ x) T(x) es falsa pues sabemos que hay alumnos en Tijuana que no son del ITT.
Cuantificador Existencial. El cuantificador existencial al menos uno o existe uno asociado a una expresión de cálculo de predicados F se representa por la espresión (∃ x) F y es verdadera cuando por lo menos una instancia de la fórmula es verdadera al sustituir por la variable x uno de los valores posibles del dominio.
Así por ejemplo en el mismo caso del anterior la expresión (∃ x) T(x) es verdadera pues sabemos que sí es verdad que al menos un estudiante es alumno del ITT.
Hay expresiones dentro del español que son muy utilizadas como por ejemplo, Todos los alumnos son estudiosos, Todos los hombres son mortales o Todos los alumnos de Computación estudian lógica. En este caso estamos tomando una parte del dominio para establecer un característica universal, esto se puede hacer mediante la combinación de dos predicados de una varible conectados mediante una condicional y tomando el cuantificador universal.
Así por ejemplo: Todos los alumnos son estudiosos se puede representar mediante
(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Por ejemplo podrían ser todos las personas que viven en Tijuana.
Aquí podemos ver claramente que el dominio juega un papel preponderante, ya que en un conjunto todos los alumnos podrían ser estudiosos y si cambiamos el conjunto puede ser que ya no sea verdad.
Todos los hombres son mortales se puede represntar por (∀ x) (H(x) → M(x)) donde H es hombre y M el predicado mortal.
Todos los pericos son verdes es: (∀ x) (P(x) → V(x)) con P, perico y V verde.
A una expresión como las anteriores se le llama Universal Afirmativa y se representa con la letra A.
Los griegos utilizaban enunciados como los anteriores en los Silogismos, que son formas de razonamiento que contienen dos premisas tipo A, E , I, O y una conclusión también de uno de los cuatro tipos, las premisas están conectadas con un predicado común y la conclusión debe estar formado por las no comunes que se le llaman técnicamente premisa menor y premisa mayor.
Una expresión tipo E es llamada Universal Negativa y se representa por
(∀ x) (P(x) → ¬Q(x)) y en español se lee ningún P cumple Q o sea que los que cumplen el predicado P(x) no cumples el predicado Q(x).
Ningún alumno llegó tarde se puede representar por (∀ x) (A(x) → ¬T(x)) donde A es alumno y T es llegó tarde.
Las dos expresiones restantes corresponden a casos particulares y para formarlas utilizamos el cuantificador existencial, y en lugar del operador condicional se usa la conjunción, así
I es (∃ x) (P(x) ∧ Q(x)) llamado Particular Afirmativa y
O es (∃ x) (P(x) ∧ ¬ Q(x)) que es la Particular Negativa.
En el primer caso se indica un elemento que cumple las dos condiciones dadas por los predicados y en el segundo aseguramos que hay un elemento que cumple la primera condición pero no la segunda.
Una manera muy simple de combinar estas expresiones mediante una propiedad es utilizando la negación, pues dos de ellas son las negaciones de las otras dos, de ahí sus nombres de afirmativas y negativas.
Primeramente estableceremos dos reglas generales con un predicado simple:
Propiedad:
¬(∀ x) P(x) es equivalente a (∃ x) (¬ P(x))
¬(∃ x) P(x) es equivalente a (∀ x) (¬P(x))
Ahora sí, podemos combinar estos dos resultados con las Universales y Particulares Afirmativas y Negativas y tenemos lo siguiente.
Teorema:
La negación de la Universal Afirmativa es la Particular Negativa y La negación de la Particular Afirmativa es la Universal Negativa.
O sea que la negación de la forma A es la forma O y la negación de la forma I es la forma E.
¬ (∀ x) (P(x) → Q(x)) es equivalente a (∃ x) (P(x) ^ ¬ Q(x))
¬ (∃ x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a (∀ x) (P(x) → ¬Q(x))
De una manera más simple lo que dice la primera fórmula es que la negación de Todos es Alguno No y que la negación de Alguno es Ninguno.
Esto es muy útil en matemáticas y en computación, por ejemplo si queremos demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables son continuas, basta encontrar una que sea integrable y que no sea continua.