Deduccion preposicional

En lugar de deducción preposicioal es deducción proposicional, aunque un nombre más general podría ser inferencia. o

La inferencia es un procediendo para obtener conclusiones, hay tres tipos de inferencia: Por inducción, por deducción y por abducción.

Por inducción es de lo particular a lo general, esto es de muchas observaciones concluir una regla general. Por deducción es de lo general a lo particular, esto es de un regla general se concluye un caso particular. Por abducción de particular a partuclar o de general a general. Para una explicación más amplia ver el Tema 1.7 Reglas de Inferencia.

En lógica proposicional solo se admite la deducción como procedimiento válido para obtener conclusiones, los otros mátodos se pueden utilizar en probalididad, estadística, lógica difusa, ciencias, etc.

Primeramente consideraremos algunas reglas de inferencia deductiva; esto es, obtener alguna conclusión en base a hechos conocidos.

Reglas de Inferencia Deductiva

MPP Modus ponendo ponens A → B A - - - - - B
MTTModus tollendo tollens A → B ¬B - - - - - ¬A
SD Silogismo Disyuntivo A ∨ B ¬A - - - - - ¬B
SH Silogismo hipotético A → B B → C - - - - - A → C
LS Ley de simplificación A ∧ B - - - - - A
LA Ley de adición A - - - - - A ∨ B
CONTRAPOSITIVA A → B - - - - - ¬B → ¬A

En la notación anterior los elementos conocidos, premisas están antes de la raya, y lo que está debajo de la raya se llama conclusión.
En general una inferencia es válida si cuando las premisas son verdaderas la conclusión también lo es, o sea
La inferencia es válida si (A1 ^ A2 ^ … ^ An)→ C es tautología.
¿Qué es una demostración?.

Para comprobar que una inferencia es válida se debe demostrar. Una demostración es un conjunto de pasos donde el último paso es la conclusión, cualquiera de los siguientes pasos es válido:

Pasos válidos en una demostración
Premisa; en cualquier paso se puede usar una premisa, esto es, lo que suponemos válido.
Equivalencias; cualquier paso puede ser un equivalente de un paso anterior.
Regla de Inferencia; en cualquier paso se puede escribir la conclusión de una regla de inferencia si sus premisas son pasos anteriores.

Propiedades previas; cualquier teorema o propiedad conocida puede ser usado en un paso, en particular cualquier inferencia válida puede ser utilizada.
Ejemplo 1. Comprobar que r se infiere de las premisas:

p, ¬p ∨ q, ¬r &rarr: ¬q

Una forma de represetar esto es:

p, ¬p ∨ q, ¬r &rarr: ¬ = r

Demostración Utilizando únicamente MPP
1. p Premisa
2. ¬p ∨ q Premisa
3. ¬r → ¬ q Premisa
4. p → q Equivalencia (2)
5. q MPP(1,4)
6. q → r Equivalencia (3)
7. r MPP(5,6)

Los primeros tres pasos de la demostración son las premisas, los pasos 4 y 6 son equivalencias y los pasos 5 y 7 son la aplicación de la regla MPP con las premisas que se encuentran en el paréntesis.

La demostración anterior la podemos hacer sin utilizar equivalencias utilizando otras leyes de inferencia además de MPP.

Ejemplo 2.

Comprobar p, ¬p ∨ q, ¬r &rarr: ¬ = r

Demostración
1. p Premisa
2. ¬p ∨ q Premisa
3. ¬r → ¬ q Premisa
4. q SD(1,2)
5. r MTT(3,4)

Generalmente si se utilizan más reglas de inferencia la demostración es más corta.

Ejemplo 3.

t → s, ¬q → ¬s, t = q

Demostración 1
1. t → s Premisa
2. ¬q → ¬s Premisa
3. t Premisa
4. s MPP(1,3)
5. q MTT(2,4)

Demostración 2
1. t → s Premisa
2. ¬q → ¬s Premisa
3. t Premisa
4. s MPP(1,3)
5. s → q Equivalencia (2)
6. q MTT(4,5)

Como se puede ver la regla de inferencia Modus Tollendo Tollens (MTT), no es necesaria si usamos la eauivalencia en el paso 5, sin embargo, muchos personas prefieren usarla porque es un paso menos.