Tautologias Y Contradicciones

Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.
En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran, o de un modo más sencillo: la supuesta explicación de algo mediante una perogrullada, la “explicación” o definición de algo mediante una ligera variación de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado (Ej.: “Existe el calor porque lo provoca el calórico”).
Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido.
Una contradiccion es uan expresion logica que es falsa para todos sus valores.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

Ejemplo 1:

La expresión ‘(p ^ q) → (p ∨ r)’ es una tautología
Primeramente se construye el árbol de acuerdo a los pasos 1 y 2 del algortimo.
Recordemos que si no se tiene práctica haciendo el árbol sintáctico, una buena idea es numerar los operadores en orden
jerárquico.
Una vez numerado se forma el árbol empezando por el número más grande en orden descendiente.
(p ∧ q) → (p ∨ ¬ r)
p ∧ q p ∨ ¬ r
p ∧ q p ∨ ¬ r
¬ r
Utilizamos el árbol para construir la tabla, para ver con detalle los pasos ver el Tema 1.8 Evaluacion de Expresiones.
p q r ¬ r p ∧ q p ∨ ¬ r (p ∧ q) → (p ∨ ¬ r)
V V V F V V V
V V F V V V V
V F V F F V V
V F F V F V V
F V V F F F V
F V F V F V V
F F V F F F V
F F F V F V V
Vemos que la última columna tiene unicamente V por que se comprueba que es una tautología.
Tautologías Fundamentales
p ∨ ¬p Ley del medio excluido
¬ (p ^ ¬p) Ley de no contradicción
¬(¬p) ↔ p Doble Negación
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ^ ¬q Ley 1 de De Morgan
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ^ ¬q Ley 2 de De Morgan
((p → q)^p) → q Modus ponendo ponens
((p → q)^ ¬ q) → ¬ p Modus tollendo tollens
((p ∨ q) ∧ ¬ p) → q Silogismo Disyuntivo
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) Silogismo Hipotético
(p → q) ↔ (¬ p ∨ q) Condicional como cláusula
((p → q) ↔ (¬ q → ¬ p) Contrapositiva
‘Ejemplo 2.’ Veamos la comprobación de Modus Tollendo Tollens
((p → q) ∧ ¬q) → ¬p
→
(p → q) ∧ ¬q ¬p
∧
(p → q) ¬q ¬p
→
p q ¬q
El árbol sintáctico es:

Y la tabla comprueba que es una tautología.
p q p → q ¬ q (p → q) ∧ ¬ q ¬ p ((p → q) ∧ ¬ q) → ¬ p
V V V F F F V
V F F V F F V
F V V F F V V
F F V V V V V