Induccion matematicas

G. Peano (1858–1932) propuso cinco propiedades fundamentales que caracterizan a los números naturales, Axiomas de Peano. Una de ellas conocida como el Principo de Inducción Matemática es actualmente una herramienta de uso práctico y teórico principalmente para matemáticos y personas que trabajan en Ciencias Computacionales.
El principio lo enunciaremos para los enteros positivos N+, pero bien se puede ampliar a los números naturales o a cualquier subconjunto de los enteros mayores o iguales a un entero fijo.
Principio de Inducción Matemática.
Si S en un conjunto de enteros positivos tal que
(B) 1 e S
(I) k e S Þ (k+1) e S
entonces S contiene todos los enteros positivos.
En en principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la literatura técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indispensable conocer la nomenclatura.
Nomenclatura de Inducción Matemática.
(B) se llama Caso Base o caso inicial(I) se llama Paso de Inducciónk e S se llama Hipótesis de InducciónY como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática.
Es importante que el alumno comprenda y memorice cada uno de estos conceptos y su participación directa en la propiedad.
Escencialmente lo que enuncia el principio de inducción matemática es, si logramos establecer que el primer entero positivo cumple, una propiedad, y si partiendo de que un entero arbitrario también la cumple, se puede comprobar que el entero siguiente también tiene la propiedad entonces concluimos que todos los enteros positivos tienen la propiedad indicada.
Por lo que otra forma de enunciar el Principio de Inducción Matemática es:
Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene (B) F(1) es verdadera; o sea, se que cumple para n=1 (I) F(K) Þ F(k+1); Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1.
Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos.
El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Muchas propiedades que incluyen la definición de de factorial se pueden probar por Inducción Matemática, como el Teorema del Binomio de Newton, el Triángulo de Pascal y algunas propiedades de combinatoria que involucran combinaciones y permutaciones. Otra forma de utilizarla es para proporcionar definiciones y formalizar conceptos.
1. Demostrar por Inducción Matematica que:
F(n): entonces 1 está en S o sea que se cumple el caso base.

*[I] Inducción
**[H] Suponemos que cumple para n=k;
**[H → M] Sumamos (k+1) de los dos lados de la igualdad Por lo tanto, podemos concluir que la formula (1) es valida para todos los enteros positivos
Para realizar el Paso de Inducción se debe de partir del caso n=k y llegar mediante pasos válidos al caso n=k+1.
En el ejemplo anterior para llegar a n=k+1 partiendo de n=k al lado izquierdo sólo le faltaba k+1 por lo que la estrategia fue sumar k+1 en ambos lados de la igualdad.
Esta estrategia la podemos utilizar para el siguiente algoritmo
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ALGORITMO . Para demostrar una igualdad F(n) algebraica válida que involucra enteros donde la parte izquierda es una suma cuyo término n-ésimo es una fórmula de n.
[Fórmula] Escribir la fórmula en función de n, sea F(n).
[Caso Base] Probar la fórmula para n=1, F(1).
[Meta] Escribir la fórmula para n=k+1, F(k+1).
[Paso de Inducción]
→ [Hipótesis de Inducción] Escribir la fórmula para n=k.
→ [Llegar a la Meta] Sumar a ambos lados el último término de la parte izquierda de la [Meta], o sea la igualdad para n=k+1.
Aplicar propiedades algebraicas al lado derecho hasta llegar al lado derecho de la [Meta], o sea la igualdad para n=k+1.
Nota: Cabe aclarar que la única dificultad se puede presentar en el manejo algebraico de las expresiones en la segunda parte del Paso de Inducción y que depende muchas veces de la complejidad de la expresión y de la habilidad algebraica de quien realiza la prueba.
Nota: La meta la marcamos con rojo para indicar que no es un paso válido en la demostración,sino más bien una guía de a dónde queremos llegar y para tener una mejor idea de lo que estamos demostrando.
En los ejemplos que se vean se debe considerar expresiones que se puedan resolver con la preparación de los estudiantes a los que va dirigido.
2. Demostrar por Inducción Matematica que: ∑ Es la letra griega sigma mayuscula y en matematicas significa suma
*[B] Si n=1; tenemos: entonces 1 está en S o sea que se cumple el caso base.
*[I] Inducción
**[H] Suponemos que cumple para n=k;
**[H→M] Sumando (6(k+1)−2) a ambos lados Por lo tanto, podemos concluir que la formula (2) es valida para cualquiera que sea el valor de n
El Principio de Inducción Matemática es mucho más que el algoritmo aquí presentado, ya que hay muchos casos en los que no aparecen igualdades algebraicas y como se mencionó en el principio inicialmente (B), (I) son tan generales que puede aplicarse a cualquier cosa que cumpla las condiciones. Sin embargo el poder aprender y resolver problemas con este algoritmo le da al alumno la madurez necesaria para entenderlo en general y le sirve también para formalizar y entender posteriormente la recursividad, concepto tan importente en Ciencias Computacionales.
Para practicar hacer los ejercicios del 85 al 94 de Ejercicios MC 1
Definiciones por inducción: Utilizando el método de Inducción Matemáticas podemos definir conceptos en forma recursiva, la ventaja es que se formalizan los conceptos además de que son más fáciles de manejar.
Factorial:[B] 0! = 1[R] (n+1)! = n! (n+1)
Notación Sumatoria:
Suma:[B] m + 0 = m[R] m + n’ = (m+n)’
La definición anterior se basa en los números naturales, n’ significa el sucesor de n que equivale a n+1, por la misma definición anterior.
Producto:[B] m * 0 = 0[R] m * (n+1) = (m * n) + m.